Hipótesis Nulas: ¿Cuándo la realidad sobrepasa a la imaginación?
Después de una semana intensiva sobre Probabilidad y Estadística e Hipótesis Nulas, me quedé pensando en una pregunta que el profesor me hizo justo al iniciar el curso, palabras más, palabras menos:
Si yo tuviera una moneda y te apostara a que cada vez que la lanzamos y cae sol me pagas $100 pesos y si sale águila te pago $100 pesos, ¿A los cuantos lanzamientos dejarías de jugar si sospecharas que la moneda está cargada? Más concretamente: ¿A los cuantos 'soles' consecutivos desde el primer lanzamiento dejarías de jugar?
Mi respuesta "en caliente" fué: a los 3 soles consecutivos me retiro. Y sin más preámbulo el profesor inició con el curso. Solamente dijo que ibamos a aprender a decidir esto.
Esa simple pregunta me dejó pensando. Dice tan poco pero a la vez tanto.
Las probabilidades de 3 soles consecutivos en una moneda sin trampa (no cargada) son: (1/2)x(1/2)x(1/2)=1/8=0.125 ó 12.5%.
Se observa fácilmente su probabilidad de 1/8 al construir todos las posibles combinaciones:
1: AAA
2: AAS
3: ASA
4: ASS
5: SAA
6: SAS
7: SSA
8: SSS
Es decir, con solo una observación, en mi contra (y $300 pesos menos), con 12.5% de posibilidades de ocurrir, a mi juicio encuentro la moneda cargada.
Ok, perdí $300 pesos, y la confianza en no volver a hacer apuestas con este tipo, ja.
El problema es ese. Ya pensando "fríamente", la probabilidad de 3 soles consecutivos es aún muy alta: 12.5%. Si hago 8 juegos de 3 tiros (24 tiros) la probabilidad de que vea eso, según las probabilidades, es de 100%. Luego se me vino a la mente aprovechar que son tiros independientes: Que tal si reducimos los tiros, de modo que deshecho el primero tiro y hago uno nuevo, asi minimizo los tiros para simular 8 tiros de tres con solo 10 tiros, las observaciones, al ser independientes, supongo no afecta como los cree:
Tiro 1: Sol
Tiro 2: Sol
Tiro 3: Águila
Tiro 4: Águila
Tiro 5: Águila
Tiro 6: Águila
Tiro 7: Sol
Tiro 8: Águila
Tiro 9: Águila
Tiro 10: Águila
A partir del 3er tiro, ya puedo construir mi tabla de "triples" usando una especie de triple móvil:
10 Tiros "independientes" para generar los 8 triples: SSAAAASAAA
1: SSA
2: SAA
3: AAA
4: AAA
5: AAS
6: ASA
7: SAA
8: AAA
Ok, algo se ve mal (tres grupos con ¿AAA?), ¿Qué tal si hago los 24 tiros?:
24 Tiros: SSSSAASASSASASSAASAAAAAS
Agrupando:
1: SSS
2: SAA
3: SAS
4: SAS
5: ASS
6: AAS
7: AAA
8: AAS
En el ejercicio de 10 tiros, las probabilidades fueron: Águlas 7/10 y Soles 3/10. (A=70%, S=30%).
En el ejercicio de 24 tiros, las probabilidades fueron: Águilas 12/24 y Soles 12/24 (A=50%, S=50%).
Ok, sabemos que aunque la probabilidad teórica de la moneda es de 50%, No significa y ni siquiera esperamos que sea SASASASASASASASASASASASA. La moneda no tiene memoria. De hecho tuve una corrida de 5 Águilas consecutivas, casi al final de los 24 tiros. Es un hecho que es muy baja la probabilidad combinada de tener 1 S y 1 A alternadas consecutivamente.
Podemos reconstruir las probabilidades por tiro (de la corrida de 24 tiros):
SSSSAASASSASASSAASAAAAAS
1: Á=0%, S=100%
2: Á=0%, S=100%
3: Á=0%, S=100%
4: Á=0%, S=100%
5: Á=20%, S=80%
6: Á=33.3%, S=66.6%
7: Á=29.6%, S=71.4%
8: Á=37.5%, S=62.5%
9: A=33.3%, S=66.6%
10: A=30%, S=70%
11: A=36.4, S=63.6%
12: A=33.3%, S=66.6%
13: A=38.5%, S=61.5%
14: A=35.7%, S=64.3%
15: A=33.3%, S=66.6%
16: A=37.5%, S=62.5%
17: A=41.2%, S=58.8%
18: A=38.9%, S=61.1%
19: A=42.1%, S=57.9%
20: A=45%, S=55%
21: A=47.6%, S=52.4%
22: A=50%, S=50%
23: A=52.2%, S=47.8%
24: A=50%, S=50%
Ok, aunque al terminar 24 tiros, obtengo el 50% para cada lado de la moneda, la cantidad de tiros consecutivos es muy alto (si tomo cada tiro como independiente, como la ventana móvil de 10 tiros de arriba):
5 Consecutivos: 1 evento
4 Consecutivos: 2 eventos
3 Consecutivos: 5 eventos
2 Consecutivos: 10 eventos
1 Consecutivo: 12 eventos
Lo que sucede es que conforme tire más la moneda, estas desviaciones consecutivas irán pesando menos en el promedio global (en la corrida 18-23, Águila pasó de 38.9% a 52.2% en 5 tiros, si esto sucediera en el tiro 995: sería Á=495/995=49.75% para el tiro 995 y Á=500/1000=50% para el tiro 1000. Una mísera variación de 0.25%.
Intuyo entonces que lo improbable es mas probable de lo que realmente creemos, aún con probabilidades y todo. Haz algo "aleatorio" un buen número de veces y existe una probabilidad, por mas pequeña que sea, que suceda... o sea posiblemente sucederá, tarde o temprano.
Yo creo que la pregunta mas interesante es: ¿A los cuantos tiros puedes determinar si una moneda está cargada, y que tanto? Pero al agregar el costo de averiguar esto, es parte de la realidad que tenemos que lidiar.
Para aquellos que se quedaron con un sabor de insatisfacción (las probabilidades y estadísticas a mi me dejan ese sabor), les dejo unos ejemplos extraordinarios del internet:
En Julio 9 y 11 del 2007, el juego de lotería de 5 bolas del 1 al 39, repitió, en dos juegos consecutivos, el mismo grupo de 5 números. (The North Carolina Lottery Coincidence, Leonard Stefanski).
Imaginate jugar tus 5 números favoritos y ganar consecutivamente la lotería 2 veces en solo 3 días.
(0.0000000009% probabilidad)
Roy Sullivan, de Virginia, EUA, recibió 7 impactos de rayos y los sobrevivió todos.
Las probabilidades de ser impactado por un rayo es baja, pero 7 veces la hace demasiado baja, a pesar de trabajar en un bosque con actividad de tormenta eléctrica relativamente alta. También es asombrosa su capacidad de sobrevivir en cada evento. La probabilidad de sobrevivir a un rayo es de aproximadamente 70%, con daños severos de por vida. (La probabilidad de sobrevivir 7 rayos es: (0.7)^7=8.2%.
¿Estos son eventos sobrenaturales?
Durante los últimos 20 años, promediaron 51 personas muertas anualmente en EUA por caída de rayos, con un índice de mortalidad de alrededor de 9.5%.
Isaac Asimov y Carl Sagan abogaban mucho por la fórmula de Drake, aunque relativamente simplista, la enorme discrepancia entre probabilidades, podíamos jugar a "estimar" la cantidad de mundos viables para albergar vida en la Vía Láctea, por mas malas probabilidades le asignemos a la fórmula, todo apuntaba a que no estabamos solos en esta galaxia (ésta fórmula fue la precursora del proyecto SETI, o búsqueda de vida inteligente extraterrestre).
Regresando a la gran cantidad de eventos que suceden en este mundo y el universo, lo improbable parece ser que es mucho más común de lo que imaginamos.
César Gámez
Junio 08 2014
Si yo tuviera una moneda y te apostara a que cada vez que la lanzamos y cae sol me pagas $100 pesos y si sale águila te pago $100 pesos, ¿A los cuantos lanzamientos dejarías de jugar si sospecharas que la moneda está cargada? Más concretamente: ¿A los cuantos 'soles' consecutivos desde el primer lanzamiento dejarías de jugar?
Mi respuesta "en caliente" fué: a los 3 soles consecutivos me retiro. Y sin más preámbulo el profesor inició con el curso. Solamente dijo que ibamos a aprender a decidir esto.
Esa simple pregunta me dejó pensando. Dice tan poco pero a la vez tanto.
Las probabilidades de 3 soles consecutivos en una moneda sin trampa (no cargada) son: (1/2)x(1/2)x(1/2)=1/8=0.125 ó 12.5%.
Se observa fácilmente su probabilidad de 1/8 al construir todos las posibles combinaciones:
1: AAA
2: AAS
3: ASA
4: ASS
5: SAA
6: SAS
7: SSA
8: SSS
Es decir, con solo una observación, en mi contra (y $300 pesos menos), con 12.5% de posibilidades de ocurrir, a mi juicio encuentro la moneda cargada.
Ok, perdí $300 pesos, y la confianza en no volver a hacer apuestas con este tipo, ja.
El problema es ese. Ya pensando "fríamente", la probabilidad de 3 soles consecutivos es aún muy alta: 12.5%. Si hago 8 juegos de 3 tiros (24 tiros) la probabilidad de que vea eso, según las probabilidades, es de 100%. Luego se me vino a la mente aprovechar que son tiros independientes: Que tal si reducimos los tiros, de modo que deshecho el primero tiro y hago uno nuevo, asi minimizo los tiros para simular 8 tiros de tres con solo 10 tiros, las observaciones, al ser independientes, supongo no afecta como los cree:
Tiro 1: Sol
Tiro 2: Sol
Tiro 3: Águila
Tiro 4: Águila
Tiro 5: Águila
Tiro 6: Águila
Tiro 7: Sol
Tiro 8: Águila
Tiro 9: Águila
Tiro 10: Águila
A partir del 3er tiro, ya puedo construir mi tabla de "triples" usando una especie de triple móvil:
10 Tiros "independientes" para generar los 8 triples: SSAAAASAAA
1: SSA
2: SAA
3: AAA
4: AAA
5: AAS
6: ASA
7: SAA
8: AAA
Ok, algo se ve mal (tres grupos con ¿AAA?), ¿Qué tal si hago los 24 tiros?:
24 Tiros: SSSSAASASSASASSAASAAAAAS
Agrupando:
1: SSS
2: SAA
3: SAS
4: SAS
5: ASS
6: AAS
7: AAA
8: AAS
En el ejercicio de 10 tiros, las probabilidades fueron: Águlas 7/10 y Soles 3/10. (A=70%, S=30%).
En el ejercicio de 24 tiros, las probabilidades fueron: Águilas 12/24 y Soles 12/24 (A=50%, S=50%).
Ok, sabemos que aunque la probabilidad teórica de la moneda es de 50%, No significa y ni siquiera esperamos que sea SASASASASASASASASASASASA. La moneda no tiene memoria. De hecho tuve una corrida de 5 Águilas consecutivas, casi al final de los 24 tiros. Es un hecho que es muy baja la probabilidad combinada de tener 1 S y 1 A alternadas consecutivamente.
Podemos reconstruir las probabilidades por tiro (de la corrida de 24 tiros):
SSSSAASASSASASSAASAAAAAS
1: Á=0%, S=100%
2: Á=0%, S=100%
3: Á=0%, S=100%
4: Á=0%, S=100%
5: Á=20%, S=80%
6: Á=33.3%, S=66.6%
7: Á=29.6%, S=71.4%
8: Á=37.5%, S=62.5%
9: A=33.3%, S=66.6%
10: A=30%, S=70%
11: A=36.4, S=63.6%
12: A=33.3%, S=66.6%
13: A=38.5%, S=61.5%
14: A=35.7%, S=64.3%
15: A=33.3%, S=66.6%
16: A=37.5%, S=62.5%
17: A=41.2%, S=58.8%
18: A=38.9%, S=61.1%
19: A=42.1%, S=57.9%
20: A=45%, S=55%
21: A=47.6%, S=52.4%
22: A=50%, S=50%
23: A=52.2%, S=47.8%
24: A=50%, S=50%
Ok, aunque al terminar 24 tiros, obtengo el 50% para cada lado de la moneda, la cantidad de tiros consecutivos es muy alto (si tomo cada tiro como independiente, como la ventana móvil de 10 tiros de arriba):
5 Consecutivos: 1 evento
4 Consecutivos: 2 eventos
3 Consecutivos: 5 eventos
2 Consecutivos: 10 eventos
1 Consecutivo: 12 eventos
Lo que sucede es que conforme tire más la moneda, estas desviaciones consecutivas irán pesando menos en el promedio global (en la corrida 18-23, Águila pasó de 38.9% a 52.2% en 5 tiros, si esto sucediera en el tiro 995: sería Á=495/995=49.75% para el tiro 995 y Á=500/1000=50% para el tiro 1000. Una mísera variación de 0.25%.
Intuyo entonces que lo improbable es mas probable de lo que realmente creemos, aún con probabilidades y todo. Haz algo "aleatorio" un buen número de veces y existe una probabilidad, por mas pequeña que sea, que suceda... o sea posiblemente sucederá, tarde o temprano.
Yo creo que la pregunta mas interesante es: ¿A los cuantos tiros puedes determinar si una moneda está cargada, y que tanto? Pero al agregar el costo de averiguar esto, es parte de la realidad que tenemos que lidiar.
Para aquellos que se quedaron con un sabor de insatisfacción (las probabilidades y estadísticas a mi me dejan ese sabor), les dejo unos ejemplos extraordinarios del internet:
En Julio 9 y 11 del 2007, el juego de lotería de 5 bolas del 1 al 39, repitió, en dos juegos consecutivos, el mismo grupo de 5 números. (The North Carolina Lottery Coincidence, Leonard Stefanski).
Imaginate jugar tus 5 números favoritos y ganar consecutivamente la lotería 2 veces en solo 3 días.
(0.0000000009% probabilidad)
Roy Sullivan, de Virginia, EUA, recibió 7 impactos de rayos y los sobrevivió todos.
Las probabilidades de ser impactado por un rayo es baja, pero 7 veces la hace demasiado baja, a pesar de trabajar en un bosque con actividad de tormenta eléctrica relativamente alta. También es asombrosa su capacidad de sobrevivir en cada evento. La probabilidad de sobrevivir a un rayo es de aproximadamente 70%, con daños severos de por vida. (La probabilidad de sobrevivir 7 rayos es: (0.7)^7=8.2%.
¿Estos son eventos sobrenaturales?
Durante los últimos 20 años, promediaron 51 personas muertas anualmente en EUA por caída de rayos, con un índice de mortalidad de alrededor de 9.5%.
Isaac Asimov y Carl Sagan abogaban mucho por la fórmula de Drake, aunque relativamente simplista, la enorme discrepancia entre probabilidades, podíamos jugar a "estimar" la cantidad de mundos viables para albergar vida en la Vía Láctea, por mas malas probabilidades le asignemos a la fórmula, todo apuntaba a que no estabamos solos en esta galaxia (ésta fórmula fue la precursora del proyecto SETI, o búsqueda de vida inteligente extraterrestre).
Regresando a la gran cantidad de eventos que suceden en este mundo y el universo, lo improbable parece ser que es mucho más común de lo que imaginamos.
César Gámez
Junio 08 2014
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